4.4.1 Тепловидение.Применение дискриминатного анализа для решения задач тепловизионной диагностики.
Классический вариант дискриминантного анализа основан на определении канонических направлений в исходном многомерном пространстве диагностических сигналов признаков, удовлетворяющих следующему критерию:
(5)
Введем следующие обозначения:
- число классов (в нашем случае 
);
- число диагностических переменных (в нашем случае это характеристики теплового поля объекта: 
,
дисперсия температуры объекта и т.п.);
- число объектов наблюдений обучающей выборки 
класса (
);
- общее число объектов всех классов.
В модели дискриминантного анализа существуют следующие допущения и ограничения:
- число классов,
- число объектов в каждом классе,
- любое число диагностических переменных, но не более чем общее число объектов обучающей выборки за вычетом двух,
- измерение диагностических сигналов осуществляется по интервальной шкале;
- линейная независимость диагностических сигналов;
- приблизительное равенство между ковариационными матрицами для каждого класса;
- многомерная нормальность закона распределения диагностических сигналов.
Задача тепловидения (тепловизионной диагностики) аудиовизуальной техники удовлетворяет требованиям и ограничениям дискриминантного анализа.
4.4.2 Тепловидение.Получение диагностической функции
В дискриминантном анализе диагностическая функция носит наименование «каноническая дискриминантная функция» и является линейной комбинацией дискриминантных переменных (диагностических сигналов признаков).
Для классификации объектов на два класса достаточно одной дискриминантной функции. Она имеет следующее математическое представление:
,
- значение диагностической функции для 
объекта в 
классе;
- значение диагностического сигнала признака 
для 
объекта в 
классе;
- весовые коэффициенты, обеспечивающие выполнение требуемого условия (5).
Коэффициенты 
выбираются таким образом, чтобы средние значения диагностической функции при тепловидении для различных классов как можно больше отличались друг от друга.
4.4.3 Тепловидение.Определение весовых коэффициентов
диагностических признаков
Для определения весовых коэффициентов диагностических сигналов в классическом дискриминантном анализе используют матрицу 
, позволяющую оценить степень разброса наблюдений по каждому сигналу и степень коррелированности сигналов во всей обучающей выборке.
Элементы матрицы 
задаются соотношением:
- число классов;
- число наблюдений в 
классе;
- общее число наблюдений по всем классам;
- величина 
диагностического сигнала – признака для 
объекта в 
классе;
- средняя величина 
диагностического сигнала в 
классе обучающей выборки объектов;
- среднее значение 
диагностического сигнала по всем классам (общее среднее).
Матрица 
квадратная симметричная матрица размерности р х р , где
- число диагностических сигналов.
Если разделить все элементы матрицы 
на 
, то получим ковариационную матрицу 
:
.
Степень зависимости двух переменных можно выяснить, рассматривая их корреляцию. Для этого воспользуемся коэффициентом корреляции, поскольку он нормирован и принимает значения: 
Для того, чтобы преобразовать матрицу 
в матрицу коэффициентов корреляции 
, необходимо разделить каждый элемент 
на квадратный корень произведения двух соответствующих диагональных элементов. Диагональные элементы матрицы 
- единичные: 
. Анализ коэффициентов корреляции не стоящих на главной диагонали 
позволяет выделить пары переменных и исключить часть диагностических признаков из рассмотрения.
Если расположение объектов, принадлежащих разным классам в пространстве параметров, действительно различается, их центроиды 
различны, то и степень разброса наблюдений внутри одного класса будет меньше общего разброса наблюдений по всей обучающей группе из 
объектов.
Для оценки разброса наблюдений внутри класса служит матрица 
, которая отличается от 
только тем, что её элементы определяются средними значениями переменных для отдельных классов, а не общими средними:
.
Матрицу 
легко преобразовать во внутригрупповую ковариационную матрицу 
поделив все элементы на 
и далее во внутригрупповую матрицу коэффициентов корреляции, как это выполнялось ранее для матрицы 
.
Когда центроиды различных классов совпадают, элементы матриц 
и 
при достаточно больших выборках также будут равны ( так как 
). Если же центроиды у классов разные элементы матрицы 
будут меньше соответствующих элементов матрицы 
. Эта разница обозначается как матрица 
:
или 
.
Матрицы 
и 
содержат всю основную информацию о зависимости диагностических сигналов – признаков внутри классов и между классами и служат для расчета коэффициентов влияния диагностических сигналов 
на величину диагностической функции 
.
Их расчет ведется в следующей последовательности.
Во-первых, необходимо решить систему уравнений:
или в матричной записи
,
- собственное число; 
- последовательность коэффициентов.
Собственные числа 
определяем, приравнивая соответствующий определитель матрицы нулю:
.
Для получения единственно правильного решения дополнительно накладывается условие:
Каждое решение, которое имеет свое собственное значение 
и свою последовательность 
, соответствует одной канонической дискриминантной функции, коэффициенты которой определяются соотношениями:
, 
.
Наиболее значима дискриминантная функция, для которой собственное число 
- максимально. Эта функция и является единственной диагностической при 
.
Диагностическое правило заключается в вычислении разностей величины диагностической функции, соответствующей объекту, и величины диагностических функций, соответствующих центроидам отдельных классов. Объект тепловидения относят к тому классу, где эта разность меньше.
Рассмотренный алгоритм дискриминантного анализа реализован в большинстве пакетов программ обработки данных BALTECH. Примеры решения задач классификации объектов тепловидения и диагностики методами дискриминантного анализа с использованием пакета «Протон-Эксперт». Информация о последних версиях программ предоставляется при покупке тепловизионных комплексов компании BALTECH.